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测量结果及其不确定度的有效位数
张春滨
（航天科技集团公司第一计量测试研究所，北京，100076）
摘要 校准证书及检测报告上的校准结果或检测结果均给出了测量结果的不确定度，并通过大量的实例，介绍了测量结果及其不确定度的有效位数，对不同情况下，与此相关的一些问题进行了讨论。
关键词 测量误差，有效数字， 修约。
The Significant Figure of the Measurement Result
and Its Uncertainty
Zhang Chunbin
(The First Research Institute for Measurement and Test of CASA,Beijing,100076)
Abstract The uncertainty of the result of a calibration or a testing is given in the certificate of calibration and calibration result or test result in the testing report. With many examples, this paper introduces the significant figures in the result of a measurement and its uncertainty. Some problems correlated with the significant figure are also discussed in different conditions.
Key Words Measurement error, Significant figure, Round off.
1 引言
校准证书及检测报告上的校准结果或检测结果均给出了测量结果的不确定度，测量结果的报告应尽量详细，以便使用者可以正确地利用测量结果。完整的测量结果至少含有两个基本量：一是被测量的最佳估计值，在很多情况下，测量结果是在重复观测的条件下确定的。二是描述该测量结果分散性的量，即测量结果不确定度。报告测量结果的不确定度有合成标准不确定度和扩展不确定度两种方式。在报告与表示测量结果及其不确定度时，对两者数值的位数，技术规范JJF1059-1999《测量不确定度评定与表示》做出了相应的规定。
2 测量结果不确定度的有效位数
2.1 技术规范的规定?
根据技术规范JJF1059-1999《测量不确定度评定与表示》的规定，估计值y的数值和它的标准不确定度uc(y)或扩展不确定度U的数值都不应该给出过多的位数。通常uc(y)和U 以及输入估计值xi的标准不确定度u(xi)最多为两位有效数字。虽然在计算测量结果不确定度的过程中，中间结果的有效位数可保留多位，即在报告最终测量结果时，uc(y)和U取一位或两位均可，两位以上是不允许的。
2.2 测量结果不确定度的修约
测量结果不确定度应按国家标准GB3101-1993《有关量、单位和符号的一般原则》的规定进行修约，使测量结果不确定度有效数字的位数为一位或两位。
例如：一频率测量结果的标准不确定度为u (xi)= 28.05 kHz，要求保留两位有效数字，经修约后为28 kHz。
测量结果的不确定度不允许进行连续修约。即测量结果的不确定度应经一次修约后得到，而不应该经多次修约后得到。
例如：U = 0.145 5℃，要求保留一位有效数字时，应为：U = 0.145 5℃= 0.1℃，而不应为：U = 0.145 5℃= 0.146 ℃= 0.15℃= 0.2℃。可见，在本例中，由于连续修约造成最终结果的误差为100%，这是不允许的。
2.3 测量结果不确定度有效位数的合理选择
技术规范中规定，在通常情况下，uc(y)和U最多为两位有效数字。但保留一位有效数字时，可能导致很大修约误差，特别是当第1位有效数字较小时。
例如：经计算一温度测量结果的不确定度为0.149℃，将其修约到一位有效数字时，测量结果不确定度为0.1℃，由修约引起的误差为-0.04 9℃，是测量结果不确定度的49%，对评定测量结果的质量影响很大。
这可能导致在某一条件下对某量进行测量时，本不满足测量技术要求的测量仪表，因测量结果不确定度的修约误差，造成计算出的测量结果不确定度达到预定技术要求的假象，对该测量工程将产生很大的损失。
也可能导致在某一条件下对某量进行测量时，本应满足测量技术要求的测量仪表，因测量结果不确定度的修约误差，使计算出的测量结果不确定度达不到预定的技术要求，需要选择更高准确度等级的测量仪表，加大了测量设备成本的投入。
若将测量结果的不确定度修约到两位有效数字，测量结果的不确定度为0.15 ℃，由修约引起的误差为0.001 ℃，是测量结果不确定度的1%，对评定测量结果质量的影响可以忽略不计。
当修约前测量结果不确定度的第1位数字增大时，由修约引起的误差对测量结果不确定度的影响将减小。
例如：用一测温仪表测量某一物体的温度，计算出其测量结果的不确定度为0.249℃，将其修约到一位有效数字时，测量结果的不确定度为0.2℃，由修约引起的误差为-0.049℃，是测量结果不确定度的24%。若测量结果的不确定度为0.349℃，将其修约到一位有效数字时，测量结果的不确定度为0.3 ℃，由修约引起的误差为-0.049 ℃，仅是测量结果不确定度的16%，即小于测量结果不确定度的1/5，从误差理论上讲可忽略不计。
因此，当修约前第1位有效数字为1或2时，测量结果的不确定度应取两位有效数字。3或以上时，可用一位或两位有效数字。
以上所讨论的是测量结果的不确定度可准确评定时的情况，即只考虑由修约引起的误差对测量结果不确定度的影响。在现有的技术条件下，测量结果的不确定度难以准确地进行评定时，虽然其第1位有效数字可能较小，但是测量结果的不确定度取一位有效数字仍然是合理的。
2.4 中间结果的有效位数
在计算测量结果不确定度的过程中，中间结果的有效位数可保留多位。例如：一测温仪表检定结果的不确定度是由两部分组成的：一是标准器引入的标准不确定度分量u1；二是测温仪表重复性引入的标准不确定度分量u2。要求最终检定结果的合成标准不确定度取一位有效数字。假设经计算：
u1 = 0.149 ℃ u2 = 0.249 ℃
方法1：各分量互不相关，u1， u2不修约，采用方和根法直接计算检定结果的合成标准不确定度。
方法2：若将u1， u2修约到一位有效数字时，标准不确定度为
u1 = 0.1 ℃ u2 = 0.2 ℃
检定结果的合成标准不确定度为
由修约引起的误差为-0.1 ℃，是检定结果不确定度的50%。
方法3：若将u1， u2修约到两位有效数字时，标准不确定度为
u1 = 0.15 ℃ u2 = 0.25 ℃
检定结果的合成标准不确定度为
由修约引起的误差为0.0 ℃，对检定结果的不确定度没有影响。
由本例可见，若最终测量结果的不确定度取一位有效数字，中间结果的有效位数仅取一位是不够的，至少应取两位有效数字，否则可能产生很大的修约误差。
2.5 测量结果不确定度的全进进位法
最终测量的结果有时要将测量结果不确定度最末位后面的数都进位而不是舍去，这样不但提高了不确定度的可靠性，而且可使数据更加保险。
例如：uc(y)= 10.47 mΩ，可以进位到11 mΩ。
但是测量结果不确定度的全进进位法应慎重使用，因为将末位后面的数都进位可能导致不确定度被过分扩大。
例如：一电阻测量结果的合成标准不确定度为uc(y) = 1.047 mΩ，进位到2 mΩ。
这虽然提高了合成标准不确定度的可靠性，数据更加保险了，但是产生了很大的进位修约误差，使本应满足测量技术要求的仪表因此而不能使用。
在满足使用要求的条件下，建议采用“三分之一”原则。即舍掉部分小于保留末位修约间隔的三分之一时，不进位，否则可以进位。
例如：uc(y) = 10.37 mΩ，可进位到11 mΩ。uc(y) = 10.27 mΩ，则不进位，uc(y) = 10 mΩ。
3 测量结果的有效位数
3.1 技术规范的规定
规范规定：输入和输出的估计值应修约到与不确定度的位数一致。即经计算得到测量结果的不确定度以后，要按测量结果不确定度的有效位数来修约测量结果，确定测量结果的有效位数，使采用同一测量单位的测量结果及其不确定度的末位对齐。
3.2 测量结果的修约
测量结果应按国家标准GB3101-1993《有关量、单位和符号的一般原则》的规定进行修约，使测量结果与不确定度的末位对齐。
例如：对一电阻器的电阻值进行测量，其测量结果为y = 10.057 62 Ω，合成标准不确定度uc(y) = 27 mΩ，据此对测量结果进行修约得：y = 10.058 Ω。
同样，测量结果不允许进行连续修约。即测量结果应经一次修约后得到，而不应该经多次修约后得到。
3.3 测量结果的补位
若出现测量结果的实际位数不够而无法与测量结果不确定度的末位对齐时，应在测量结果中补零，以与测量结果不确定度的末位对齐。
例如：一砝码质量的测量结果为m = 100.021 4 g，扩展不确定度为U95= 0.36 mg，则测量结果及其不确定度应表示为
m= 100.021 40 g，
U95 =0.36 mg（U95 = 0.000 36 g ）
需注意，若出现测量结果的实际位数不够而无法与测量结果不确定度的末位对齐时，不应对测量结果的不确定度进行修约，以使测量结果的末位与测量结果不确定度的末位对齐。
例如：在用标准信号源校准分辨力为1 ℃的测温仪表为100 ℃点时，标准器将输入100 ℃所对应的电量值，此时被校准表指示的值为101 ℃。经计算，其扩展不确定度U= 0.66 ℃。标准器输入的是标准值，在满足一定技术要求的条件下，误差很小，且作为一个标准不确定度分量进入了扩展不确定度。若U取0.7 ℃，则给出校准证书时，对应的标准器温度值应为100.0 ℃，被校准仪表的指示值为101.0 ℃。即在校准结果后面补一个零以与不确定度的位数对齐。而不应将U修约为1 ℃，给出被校准仪表的指示值为101 ℃、U为1 ℃的校准证书。
在被校准仪表指示值后面补一个零是为了说明当用该仪表测量100.0 ℃的温度时，其指示值以一定的概率出现在(101.0±0.7) ℃的范围以内。由于仪表本身的分辨力为1 ℃，所以实际指示出来的指示值为(101±1 )℃。分辨力对不确定度已在0.7 ℃中体现了出来。不能因为这个零，就说仪表指示值正好是101.0 ℃。因为该仪表的分辨力为1 ℃，是指示不出0.1 ℃来的。
4 结论
测量是科研、生产过程中不可缺少的一项工作，其目的是获取测量结果。
测量不确定度是对测量结果质量的定量表征，而测量结果及其不确定度的有效位数，对于准确表示测量结果及其不确定度是很重要的。
根据技术规范JJF1059-1999《测量不确定度评定与表示》的规定，测量结果不确定度的数值应给出一位或两位有效数字。在实际工作中，应合理地进行选择。当修约前第1位有效数字为1或2时，测量结果的不确定度应取两位有效数字；3或以上时，可用一位或两位有效数字。
在计算测量结果不确定度的过程中，中间结果的有效位数可保留多位。
测量结果不确定度的全进进位法（既将保留末位后面的数都进位）应慎重使用。建议采用“三分之一”原则，既舍掉部分小于保留末位修约间隔的三分之一时，不进位，否则可以进位。
对测量结果进行修约以使测量结果的末位与测量结果不确定度的末位对齐。若出现测量结果的实际位数不够，而无法与测量结果不确定度的末位对齐时，应在测量结果后面补零，以与测量结果不确定度的末位对齐。
对测量结果及其不确定度的修约，应按国家标准GB3101-1993《有关量、单位和符号的一般原则》的规定进行，不允许连续修约。
参 考 文 献
1 国家质量技术监督局.JJF1059-1999测量不确定度评定与表示.北京：中国计量出版社，1999.
2 国家质量技术监督局.测量不确定度评定与表示指南.北京：中国计量出版社，2000.
3 国家质量技术监督局.GB3101-1993有关量、单位和符号的一般原则.北京：中国标准出版社，1994.
4 叶德培.测量不确定度.北京：国防工业出版社，1996.
5 刘智敏.测量不确定度的应用.宇航计测技术，1997（增刊）.
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